Supón que un presupuesto de 1800€ debe repartirse entre tres personas: Carlos, Marta y Pablo, de manera inversamente proporcional a sus edades. Si Carlos tiene 25 años, Marta tiene 35 años y Pablo tiene 45 años, ¿cuánto recibirá cada uno?
Resolución Paso a Paso
Paso 1: Escribir la Fórmula del Reparto Inversamente Proporcional
Para repartir el dinero de manera inversamente proporcional, usamos la fórmula:
$$
k = \frac{N}{\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}}
$$
Donde:
- ( k ) es la cantidad de dinero que recibe cada persona.
- ( N ) es el total del dinero a repartir (1800€).
- ( a ), ( b ), y ( c ) son las edades de Carlos, Marta y Pablo, respectivamente. En este caso, ( a = 25 ), ( b = 35 ) y ( c = 45 ).
Paso 2: Calcular la Suma de las Inversas
Ahora, calculamos la suma de las inversas de las edades:
$$
\frac{1}{a} = \frac{1}{25}, \quad \frac{1}{b} = \frac{1}{35}, \quad \frac{1}{c} = \frac{1}{45}
$$
La suma de las inversas es:
$$
\frac{1}{25} + \frac{1}{35} + \frac{1}{45} = 0.04 + 0.02857 + 0.02222 = 0.09079
$$
Paso 3: Aplicar la Fórmula para Encontrar el Valor de ( k )
Ahora sustituimos en la fórmula para encontrar ( k ):
$$
k = \frac{1800}{0.09079} \approx 19882.45
$$
Paso 4: Calcular lo que Recibe Cada Persona
Para calcular lo que recibe cada persona, multiplicamos el valor de ( k ) por el recíproco de sus edades:
- Carlos (edad 25 años):
$$
\text{Dinero de Carlos} = \frac{1}{25} \times 19882.45 \approx 795.30
$$
- Marta (edad 35 años):
$$
\text{Dinero de Marta} = \frac{1}{35} \times 19882.45 \approx 568.21
$$
- Pablo (edad 45 años):
$$
\text{Dinero de Pablo} = \frac{1}{45} \times 19882.45 \approx 442.83
$$
Respuesta Final
Carlos recibe aproximadamente 795.30€, Marta recibe aproximadamente 568.21€, y Pablo recibe aproximadamente 442.83€.