Problema de maximización: Producción de camiones y automóviles
En este ejercicio vamos a resolver un problema de programación lineal relacionado con la producción de camiones y automóviles. El objetivo es determinar cuántas unidades de cada tipo debe fabricar la empresa para maximizar su ganancia. A continuación, veremos cómo resolver el problema paso a paso.
Enunciado del problema
Una fábrica de camiones y automóviles tiene dos talleres:
- En el taller A, para fabricar un camión se necesitan 7 días-operario, y para fabricar un automóvil se necesitan 2 días-operario.
- En el taller B, tanto un camión como un automóvil requieren 3 días-operario.
El taller A dispone de 300 días-operario y el taller B dispone de 270 días-operario.
La ganancia por cada camión es de 6 millones de euros, y por cada automóvil es de 2 millones de euros.
¿Cuántos camiones y automóviles debe fabricar la empresa para maximizar su ganancia?
1. Definición de variables
Definimos las variables:
- \( x \): número de camiones a fabricar.
- \( y \): número de automóviles a fabricar.
2. Función objetivo
La función objetivo es la ganancia total, que depende del número de camiones y automóviles fabricados. La ganancia por cada camión es de 6 millones de euros, y por cada automóvil es de 2 millones de euros. Por lo tanto, la función objetivo es:
\( Z = 6x + 2y \)
3. Restricciones
Las restricciones vienen dadas por los días-operario disponibles en los talleres A y B, y por la no negatividad de las variables \( x \) y \( y \).
- Restricción del taller A: Cada camión requiere 7 días-operario y cada automóvil 2 días-operario. El total disponible es de 300 días-operario:
- Restricción del taller B: Tanto un camión como un automóvil requieren 3 días-operario. El total disponible es de 270 días-operario:
- Restricciones de no negatividad: No se pueden fabricar cantidades negativas de camiones ni de automóviles:
\( 7x + 2y \leq 300 \)
\( 3x + 3y \leq 270 \)
\( x \geq 0 \quad \text{y} \quad y \geq 0 \)
4. Resolución gráfica
Para encontrar la solución óptima, representamos las restricciones en un plano cartesiano. La región factible es el área que cumple todas las restricciones. Vamos a encontrar los puntos de intersección de las rectas que representan las restricciones.
Restricción del taller A: \( 7x + 2y = 300 \)
- Si \( x = 0 \), \( y = 150 \).
- Si \( y = 0 \), \( x = 42.86 \) (aproximadamente).
- Por lo tanto, los puntos de intersección con los ejes son: \( (0, 150) \) y \( (42.86, 0) \).
Restricción del taller B: \( 3x + 3y = 270 \)
- Si \( x = 0 \), \( y = 90 \).
- Si \( y = 0 \), \( x = 90 \).
- Por lo tanto, los puntos de intersección con los ejes son: \( (0, 90) \) y \( (90, 0) \).
5. Evaluación de los vértices
Los vértices de la región factible se encuentran en los puntos de intersección de las restricciones:
- \( (0, 90) \)
- \( (0, 150) \)
- \( (42.86, 0) \)
- \( (24, 66) \) (intersección de las dos restricciones).
Evaluamos la función objetivo \( Z = 6x + 2y \) en cada vértice:
- En \( (0, 90) \): \( Z = 6(0) + 2(90) = 180 \) millones de euros.
- En \( (0, 150) \): \( Z = 6(0) + 2(150) = 300 \) millones de euros.
- En \( (42.86, 0) \): \( Z = 6(42.86) + 2(0) = 257.14 \) millones de euros.
- En \( (24, 66) \): \( Z = 6(24) + 2(66) = 276 \) millones de euros.
6. Solución óptima
El valor máximo de la función objetivo es 276 millones de euros, que se alcanza cuando la empresa fabrica 24 camiones y 66 automóviles.