Problema de maximización: Producción de mesas
En este ejercicio vamos a resolver un problema de programación lineal relacionado con la fabricación de mesas de comedor y de oficina. El objetivo es determinar cuántas mesas de cada tipo debe fabricar la empresa para maximizar su beneficio. A continuación, veremos cómo resolver el problema paso a paso.
Enunciado del problema
Una empresa fabrica dos tipos de mesas: mesas de comedor y mesas de oficina. Para fabricar una mesa de comedor, la empresa necesita 4 horas de trabajo de carpintería y 3 horas de trabajo de pintado. Para una mesa de oficina, necesita 3 horas de trabajo de carpintería y 1 hora de trabajo de pintado.
La empresa dispone de un máximo de 240 horas de carpintería y 100 horas de pintado al mes. El beneficio por cada mesa de comedor vendida es de 70 euros y por cada mesa de oficina vendida es de 50 euros.
¿Qué cantidad de mesas de comedor y de oficina deben fabricar para maximizar el beneficio?
1. Definición de variables
Definimos las variables:
- \( x \): número de mesas de comedor a fabricar.
- \( y \): número de mesas de oficina a fabricar.
2. Función objetivo
La función objetivo es el beneficio total de la empresa, que depende del número de mesas de comedor y de oficina que se fabriquen. El beneficio por cada mesa de comedor es de 70 euros, y por cada mesa de oficina es de 50 euros. Por lo tanto, la función objetivo es:
\( Z = 70x + 50y \)
3. Restricciones
Las restricciones vienen dadas por el tiempo disponible para carpintería y pintado, y por la no negatividad de las variables \( x \) y \( y \).
- Restricción de carpintería: Cada mesa de comedor requiere 4 horas y cada mesa de oficina 3 horas. El total disponible es de 240 horas:
- Restricción de pintado: Cada mesa de comedor requiere 3 horas y cada mesa de oficina 1 hora. El total disponible es de 100 horas:
- Restricciones de no negatividad: No se pueden fabricar cantidades negativas de mesas:
\( 4x + 3y \leq 240 \)
\( 3x + y \leq 100 \)
\( x \geq 0 \quad \text{y} \quad y \geq 0 \)
4. Resolución gráfica
Para encontrar la solución óptima, representamos las restricciones en un plano cartesiano. La región factible es el área que cumple todas las restricciones. Vamos a encontrar los puntos de intersección de las rectas que representan las restricciones.
Restricción de carpintería: \( 4x + 3y = 240 \)
- Si \( x = 0 \), \( y = 80 \).
- Si \( y = 0 \), \( x = 60 \).
- Por lo tanto, los puntos de intersección con los ejes son: \( (0, 80) \) y \( (60, 0) \).
Restricción de pintado: \( 3x + y = 100 \)
- Si \( x = 0 \), \( y = 100 \).
- Si \( y = 0 \), \( x = 33.33 \).
- Por lo tanto, los puntos de intersección con los ejes son: \( (0, 100) \) y \( (33.33, 0) \).
5. Evaluación de los vértices
Ahora evaluamos la función objetivo \( Z = 70x + 50y \) en los vértices de la región factible, que son los puntos de intersección de las restricciones:
- En el vértice \( (0, 80) \):
\( Z = 70(0) + 50(80) = 4000 \) euros
- En el vértice \( (33.33, 0) \):
\( Z = 70(33.33) + 50(0) = 2333.10 \) euros
- En el vértice \( (12, 64) \):
\( Z = 70(12) + 50(64) = 4040 \) euros
6. Solución óptima
El valor máximo de la función objetivo es 4040 euros, que se alcanza cuando la empresa fabrica 12 mesas de comedor y 64 mesas de oficina.