Enunciado del problema

Una empresa de muebles quiere minimizar los costes de fabricación de dos productos: baldes y cajas. Cada balde requiere 5 horas de trabajo y 2 kg de madera. Cada caja requiere 4 horas de trabajo y 3 kg de madera. La empresa dispone de 400 horas de trabajo y 300 kg de madera. El coste por hora de trabajo es de 10 euros y el coste por kg de material es de 8 euros.
Determina el número de baldes y cajas a producir para que los costes sean mínimos.

Ejercicio resuelto de programación lineal: Minimización de costes de fabricación

Enunciado del problema

Una empresa de muebles fabrica dos productos: baldes y cajas, y desea minimizar los costes de fabricación. Para ello, debe considerar los siguientes datos:

• Recursos disponibles:
  • Horas de trabajo: 400 horas.
  • Madera: 300 kg.
• Requerimientos por unidad:
  • Cada balde necesita 5 horas de trabajo y 2 kg de madera.
  • Cada caja necesita 4 horas de trabajo y 3 kg de madera.
• Costes:
  • Trabajo: 10 euros/hora.
  • Madera: 8 euros/kg.

Pregunta: ¿Cuántos baldes y cajas debe fabricar la empresa para que el coste total sea el mínimo posible? ¿Cuál es ese coste mínimo?

Resolución paso a paso

Paso 1: Definir las variables de decisión

Sea:

• \( x \): número de baldes a fabricar.
• \( y \): número de cajas a fabricar.

Paso 2: Plantear la función objetivo

El coste total de fabricación incluye:

1. Coste por hora de trabajo:
   • Cada balde necesita \( 5 \) horas (\( 10 \cdot 5 = 50 \, \text{euros/balde} \)).
   • Cada caja necesita \( 4 \) horas (\( 10 \cdot 4 = 40 \, \text{euros/caja} \)).
2. Coste por uso de madera:
   • Cada balde necesita \( 2 \, \text{kg} \) (\( 8 \cdot 2 = 16 \, \text{euros/balde} \)).
   • Cada caja necesita \( 3 \, \text{kg} \) (\( 8 \cdot 3 = 24 \, \text{euros/caja} \)).

El coste por unidad es:

• Balde: \( 66 \, \text{euros} \).
• Caja: \( 64 \, \text{euros} \).

Por lo tanto, la función objetivo a minimizar es:

\[ Z = 66x + 64y \]

Paso 3: Formular las restricciones

Las restricciones provienen de las limitaciones de recursos:

• Horas de trabajo disponibles: \[ 5x + 4y \leq 400 \]
• Madera disponible: \[ 2x + 3y \leq 300 \]
• Restricciones de no negatividad: \[ x \geq 0, \quad y \geq 0 \]

Paso 4: Representación gráfica de las restricciones

Transformamos las desigualdades en ecuaciones para graficar las líneas que delimitan la región factible:

• Horas de trabajo (\( 5x + 4y = 400 \)):
  • Si \( x = 0 \): \( y = 100 \).
  • Si \( y = 0 \): \( x = 80 \).
  • Puntos: \( (0, 100) \) y \( (80, 0) \).
• Madera disponible (\( 2x + 3y = 300 \)):
  • Si \( x = 0 \): \( y = 100 \).
  • Si \( y = 0 \): \( x = 150 \).
  • Puntos: \( (0, 100) \) y \( (150, 0) \).

La región factible se encuentra delimitada por estas líneas, junto con los ejes \( x \geq 0 \) y \( y \geq 0 \). A continuación, mostramos el gráfico:

Paso 5: Hallar los vértices de la región factible

La región factible está limitada por las intersecciones de las rectas y los ejes. Calculamos el punto de intersección entre las dos restricciones principales:

El sistema de ecuaciones es:

\[ \begin{aligned} 5x + 4y &= 400 \\ 2x + 3y &= 300 \end{aligned} \]

Multiplicamos la primera ecuación por \( 3 \) y la segunda por \( 4 \) para igualar los coeficientes de \( y \):

\[ \begin{aligned} 15x + 12y &= 1200 \\ 8x + 12y &= 1200 \end{aligned} \]

Restamos las ecuaciones:

\[ \begin{aligned} (15x – 8x) + (12y – 12y) &= 1200 – 1200 \\ 7x &= 0 \quad \Rightarrow \quad x = 0 \end{aligned} \]

Sustituimos \( x = 0 \) en \( 5x + 4y = 400 \):

\[ \begin{aligned} 5(0) + 4y &= 400 \\ 4y &= 400 \quad \Rightarrow \quad y = 100 \end{aligned} \]

Por lo tanto, los vértices de la región factible son:

• \( (0, 100) \): Intersección de las dos restricciones.
• \( (80, 0) \): Intersección con el eje \( x \).

Paso 6: Evaluar la función objetivo en los vértices

Calculamos \( Z = 66x + 64y \) en cada vértice:

Conclusión

La solución óptima es fabricar:

• 80 baldes.
• 0 cajas.

Con un coste mínimo de 5280 euros.

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