Ejercicio: Determina el rango de la matriz dada aplicando transformaciones elementales paso a paso
Se nos presenta la matriz siguiente, y el objetivo es determinar su rango. Para ello, aplicaremos operaciones elementales entre filas para convertir la matriz en una forma escalonada y analizar cuántas filas no nulas quedan.
La matriz inicial es:[1−2301111120−320−12−1413]\begin{bmatrix} 1 & -2 & 3 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 2 \\ 0 & -3 & 2 & 0 & -1 \\ 2 & -1 & 4 & 1 & 3 \end{bmatrix}1102−21−3−13124010112−13
Paso 1: Anulación del primer elemento en la segunda y cuarta filas
El primer objetivo es anular el primer elemento de las filas F2F_2F2 y F4F_4F4 para simplificar los cálculos posteriores y obtener ceros bajo el pivote de la primera columna. Esto se logra con las siguientes operaciones elementales:F2→F2−F1,F4→F4−2F1F_2 \to F_2 – F_1, \quad F_4 \to F_4 – 2F_1F2→F2−F1,F4→F4−2F1
El resultado de estas operaciones es:(1−230103−2110−320−103−211)\begin{pmatrix} 1 & -2 & 3 & 0 & 1 \\ 0 & 3 & -2 & 1 & 1 \\ 0 & -3 & 2 & 0 & -1 \\ 0 & 3 & -2 & 1 & 1 \end{pmatrix}1000−23−333−22−2010111−11
Nota: Hemos conseguido ceros en la primera columna de las filas F2F_2F2 y F4F_4F4, dejando el pivote de la primera columna en F1F_1F1.
Paso 2: Anulación del segundo elemento en la tercera fila
Para simplificar la segunda columna, utilizamos las filas F2F_2F2 y F3F_3F3. El objetivo es que el segundo elemento en F3F_3F3 se convierta en cero, manteniendo los ceros previos. Realizamos la operación: F3→F3+F2F_3 \to F_3 + F_2F3→F3+F2
El resultado es:(1−230103−2110001003−211)\begin{pmatrix} 1 & -2 & 3 & 0 & 1 \\ 0 & 3 & -2 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 3 & -2 & 1 & 1 \end{pmatrix}1000−23033−20−201111101
Nota: Ahora la tercera fila tiene ceros en las dos primeras columnas, lo que simplifica los cálculos en los siguientes pasos.
Paso 3: Anulación del segundo elemento en la cuarta fila
Para mantener los ceros en las columnas ya trabajadas, anulamos el segundo elemento de la cuarta fila utilizando la segunda fila. La operación realizada es:F4→F4−F2F_4 \to F_4 – F_2F4→F4−F2
El resultado es:(1−230103−2110001000000)\begin{pmatrix} 1 & -2 & 3 & 0 & 1 \\ 0 & 3 & -2 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}1000−23003−20001101100
Paso 4: Análisis de la forma escalonada
Tras realizar todas las transformaciones, llegamos a una matriz escalonada en la que identificamos tres filas no nulas. Esto significa que el rango de la matriz es:Rango=3\text{Rango} = 3Rango=3
Conclusión del ejercicio
El rango de la matriz inicial es igual a 333, ya que en su forma escalonada presenta tres filas no nulas. Este procedimiento muestra cómo aplicar transformaciones elementales de manera ordenada, asegurándonos de que los ceros generados en cada paso se mantengan al avanzar hacia las columnas siguientes.