En esta entrada resolvemos paso a paso el examen de Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II de la PAU ordinaria de Galicia 2026.

El examen incluye ejercicios de probabilidad, programación lineal, análisis de funciones, integrales, distribución normal, distribución binomial y matrices.

PREGUNTA 1. ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD

Enunciado

En un ayuntamiento gallego, se realizó una encuesta a estudiantes que estaban preparando las pruebas de acceso a la universidad de 2026.

La mayoría estudian en casa y/o en la biblioteca municipal. Otras opciones que tuvieron menos respuestas fueron cafeterías tranquilas, zonas de descanso del centro comercial y medios de transporte público.

Se sabe que:

• El $80%$ estudia en casa o en la biblioteca municipal.
• El $15%$ estudia en casa y en la biblioteca municipal.
• El $40%$ no estudia en casa.

En el caso de que un porcentaje superior al $30%$ estudie en la biblioteca municipal, los responsables del ayuntamiento ampliarán su horario durante los días anteriores a las PAU 2026.

Se pide:

1.1. Si al elegir una persona de la encuesta dice que estudia en casa, ¿cuál es la probabilidad de que no lo haga en la biblioteca municipal?

1.2. ¿Ampliarán los responsables del ayuntamiento el horario de la biblioteca municipal durante los días anteriores a las PAU 2026? Justifique la respuesta.

Solución de la pregunta 1

Llamamos:

• $C$: estudiar en casa.
• $B$: estudiar en la biblioteca municipal.

Del enunciado sabemos que:

$P(C \cup B)=0,80$

$P(C \cap B)=0,15$

$P(C^c)=0,40$

Por tanto:

$P(C)=1-P(C^c)=1-0,40=0,60$

Es decir, el $60%$ de los estudiantes estudia en casa.

Apartado 1.1

Nos piden la probabilidad de que una persona no estudie en la biblioteca, sabiendo que estudia en casa.

Es una probabilidad condicionada:

$P(B^c/C)$

Sabemos que:

$P(B^c/C)=\frac{P(C \cap B^c)}{P(C)}$

Ahora calculamos $P(C \cap B^c)$.

Dentro de los que estudian en casa, algunos también estudian en la biblioteca. Por tanto:

$P(C \cap B^c)=P(C)-P(C \cap B)$

Sustituimos:

$P(C \cap B^c)=0,60-0,15=0,45$

Ahora aplicamos la fórmula:

$P(B^c/C)=\frac{0,45}{0,60}=0,75$

Por tanto:

$P(B^c/C)=0,75$

Respuesta

La probabilidad de que una persona no estudie en la biblioteca, sabiendo que estudia en casa, es:

$\boxed{0,75}$

Es decir, un:

$\boxed{75\%}$

Apartado 1.2

Para saber si se ampliará el horario de la biblioteca, necesitamos calcular el porcentaje de estudiantes que estudian en la biblioteca municipal, es decir, $P(B)$.

Usamos la fórmula de la unión de dos sucesos:

$P(C \cup B)=P(C)+P(B)-P(C \cap B)$

Sustituimos los datos conocidos:

$0,80=0,60+P(B)-0,15$

Simplificamos:

$0,80=0,45+P(B)$

Despejamos:

$P(B)=0,80-0,45=0,35$

Por tanto:

$P(B)=0,35$

Es decir, el $35%$ de los estudiantes estudia en la biblioteca municipal.

Como el enunciado indica que se ampliará el horario si el porcentaje es superior al $30%$, y se cumple que:

$35%>30%$

Respuesta

Sí, los responsables del ayuntamiento ampliarán el horario de la biblioteca municipal, porque el porcentaje de estudiantes que estudian en ella es del:

$\boxed{35\%}$

y este porcentaje es superior al $30%$ exigido.

PREGUNTA 2. ÁLGEBRA: PROGRAMACIÓN LINEAL

Enunciado

Se considera el sistema de inecuaciones:

$2x \geq 3y-7$

$x+y+1 \geq 0$

$x \leq 3$

$x+2y \leq 7$

Se pide:

2.1. Represente gráficamente la región factible determinada por el sistema de inecuaciones anterior y calcule sus vértices.

2.2. Determine, si existen, los máximos y los mínimos de la función:

$f(x,y)=2x+3y$

sujeta a las restricciones definidas por el sistema anterior.

Solución de la pregunta 2

Primero escribimos las inecuaciones de forma más cómoda.

Primera restricción

$2x \geq 3y-7$

Pasamos términos:

$3y \leq 2x+7$

Dividimos entre $3$:

$y \leq \frac{2x+7}{3}$

Segunda restricción

$x+y+1 \geq 0$

Despejamos $y$:

$y \geq -x-1$

Tercera restricción

$x \leq 3$

Cuarta restricción

$x+2y \leq 7$

Despejamos $y$:

$2y \leq 7-x$

$y \leq \frac{7-x}{2}$

Por tanto, el sistema queda:

$y \leq \frac{2x+7}{3}$

$y \geq -x-1$

$x \leq 3$

$y \leq \frac{7-x}{2}$

Apartado 2.1. Región factible y vértices

Para representar la región factible, dibujamos las rectas frontera:

$r_1: y=\frac{2x+7}{3}$

$r_2: y=-x-1$

$r_3: x=3$

$r_4: y=\frac{7-x}{2}$

La región factible es el conjunto de puntos que cumplen todas las restricciones a la vez.

[INSERTAR AQUÍ LA GRÁFICA DE LA REGIÓN FACTIBLE]

Los vértices de la región se obtienen cortando las rectas que forman los bordes de la región.

Los vértices son:

$A=(-2,1)$

$B=(1,3)$

$C=(3,2)$

$D=(3,-4)$

Por tanto, la región factible es el cuadrilátero de vértices:

$\boxed{(-2,1),\ (1,3),\ (3,2),\ (3,-4)}$

Apartado 2.2. Máximo y mínimo de la función objetivo

La función objetivo es:

$f(x,y)=2x+3y$

En programación lineal, si la región factible está acotada, los máximos y mínimos de una función lineal se alcanzan en alguno de los vértices.

Evaluamos $f(x,y)$ en cada vértice.

Por tanto:

• El valor máximo es $12$, y se alcanza en el punto $(3,2)$.
• El valor mínimo es $-6$, y se alcanza en el punto $(3,-4)$.

Respuesta

$\boxed{\text{Máximo}=12 \text{ en } (3,2)}$

$\boxed{\text{Mínimo}=-6 \text{ en } (3,-4)}$

PREGUNTA 3. ANÁLISIS

El examen permite escoger entre el apartado 3.1 y el apartado 3.2. Resolvemos ambos.

PREGUNTA 3.1. BENEFICIO DE UNA EMPRESA

Enunciado

El beneficio de una empresa depende básicamente de sus ventas. Cuando las ventas son pequeñas, el beneficio puede ser negativo debido a los costes fijos. También puede ser negativo cuando las ventas son grandes debido al aumento de los costes de producción.

El beneficio diario de una empresa, en cientos de euros, viene dado por la función:

$B(x)=-x^2+10x-16$

donde $x$ son los miles de unidades vendidas al día, con:

$1 \leq x \leq 9$

Se pide:

3.1.1. ¿A cuánto asciende el beneficio máximo que puede obtener la empresa? ¿Cuántas unidades debe vender para alcanzarlo? Contextualice las respuestas.

3.1.2. Determine los valores de $x$ para los que la empresa obtiene beneficios positivos. Contextualice la respuesta.

3.1.3. Calcule el beneficio medio obtenido por la empresa cuando vende entre 3000 y 7000 unidades, sabiendo que viene dado por:

$B_m=\frac{1}{7-3}\int_3^7 B(x),dx$

Solución del apartado 3.1

La función es:

$B(x)=-x^2+10x-16$

Es una parábola con coeficiente principal negativo, porque:

$a=-1$

Por tanto, la parábola abre hacia abajo y tiene un máximo en su vértice.

[INSERTAR AQUÍ LA GRÁFICA DEL BENEFICIO]

Apartado 3.1.1. Beneficio máximo

Para hallar el máximo de una parábola:

$B(x)=ax^2+bx+c$

usamos la fórmula de la coordenada $x$ del vértice:

$x_v=\frac{-b}{2a}$

En este caso:

$a=-1$

$b=10$

Por tanto:

$x_v=\frac{-10}{2(-1)}=\frac{-10}{-2}=5$

El beneficio máximo se alcanza cuando:

$x=5$

Como $x$ representa miles de unidades, la empresa debe vender:

$5,000$ unidades

Ahora calculamos el beneficio correspondiente:

$B(5)=-(5)^2+10(5)-16$

$B(5)=-25+50-16$

$B(5)=9$

Como el beneficio está expresado en cientos de euros:

$9 \text{ cientos de euros}=900 \text{ euros}$

Respuesta

El beneficio máximo es:

$\boxed{900 \text{ euros}}$

y se alcanza vendiendo:

$\boxed{5,000 \text{ unidades diarias}}$

Apartado 3.1.2. Beneficios positivos

La empresa obtiene beneficios positivos cuando:

$B(x)>0$

Es decir:

$-x^2+10x-16>0$

Primero resolvemos la ecuación asociada:

$-x^2+10x-16=0$

Multiplicamos por $-1$:

$x^2-10x+16=0$

Aplicamos la fórmula de segundo grado:

$x=\frac{10\pm\sqrt{(-10)^2-4\cdot 1 \cdot 16}}{2}$

$x=\frac{10\pm\sqrt{100-64}}{2}$

$x=\frac{10\pm\sqrt{36}}{2}$

$x=\frac{10\pm 6}{2}$

Obtenemos dos soluciones:

$x=\frac{10-6}{2}=2$

$x=\frac{10+6}{2}=8$

Por tanto, la función corta al eje horizontal en:

$x=2$

$x=8$

Como la parábola abre hacia abajo, será positiva entre las dos raíces:

$2<x<8$

Respuesta

La empresa obtiene beneficios positivos cuando vende entre:

$\boxed{2,000 \text{ y } 8,000 \text{ unidades diarias}}$

sin incluir los extremos.

En $x=2$ y en $x=8$ el beneficio es cero. Por debajo de 2000 unidades o por encima de 8000 unidades, el beneficio sería negativo.

Apartado 3.1.3. Beneficio medio entre 3000 y 7000 unidades

Nos dan la fórmula:

$B_m=\frac{1}{7-3}\int_3^7 B(x),dx$

Sustituimos la función:

$B_m=\frac{1}{4}\int_3^7 (-x^2+10x-16),dx$

Calculamos una primitiva:

$\int (-x^2+10x-16),dx=-\frac{x^3}{3}+5x^2-16x$

Por tanto:

$B_m=\frac{1}{4}\left[-\frac{x^3}{3}+5x^2-16x\right]_3^7$

Evaluamos en $x=7$:

$-\frac{7^3}{3}+5\cdot 7^2-16\cdot 7$

$=-\frac{343}{3}+245-112$

$=-\frac{343}{3}+133$

$=-\frac{343}{3}+\frac{399}{3}$

$=\frac{56}{3}$

Evaluamos en $x=3$:

$-\frac{3^3}{3}+5\cdot 3^2-16\cdot 3$

$=-\frac{27}{3}+45-48$

$=-9+45-48$

$=-12$

Ahora restamos:

$\int_3^7 B(x),dx=\frac{56}{3}-(-12)$

$\int_3^7 B(x),dx=\frac{56}{3}+\frac{36}{3}$

$\int_3^7 B(x),dx=\frac{92}{3}$

Finalmente:

$B_m=\frac{1}{4}\cdot \frac{92}{3}$

$B_m=\frac{92}{12}$

$B_m=\frac{23}{3}$

Como el beneficio está en cientos de euros:

$\frac{23}{3}\text{ cientos de euros}=\frac{2300}{3}\text{ euros}$

$\frac{2300}{3}\approx 766,67$

Respuesta

El beneficio medio entre 3000 y 7000 unidades es:

$\boxed{\frac{23}{3} \text{ cientos de euros}}$

es decir, aproximadamente:

$\boxed{766,67 \text{ euros}}$

PREGUNTA 3.2. RESERVAS DE AGUA DE UN EMBALSE

Enunciado

En el año 2025 las reservas de agua de varios embalses gallegos se han visto comprometidas a causa de la falta de precipitaciones y del aumento de la evaporación del agua debida a las altas temperaturas.

En un determinado embalse, se estima que las reservas acumuladas de agua, medidas en porcentaje de su capacidad, vienen dadas por la función:

$R(t)=
\begin{cases}
96-2(t-3)^2, & 0 \leq t \leq 6 \
5(t-9)^2+33, & 6<t \leq 12
\end{cases}$

donde $t$ representa el tiempo transcurrido en meses contados a partir del día 1 de enero de 2025.

Se pide:

3.2.1. Determine los períodos del año en los que las reservas de agua han aumentado y disminuido. Contextualice las respuestas.

3.2.2. ¿Cuáles han sido las reservas mínimas? ¿En qué momento o momentos se han producido? Contextualice las respuestas.

3.2.3. Utilizando la información de los apartados anteriores represente gráficamente la evolución de las reservas de agua del embalse a lo largo del año 2025.

Solución del apartado 3.2

La función está definida por tramos:

$R(t)=96-2(t-3)^2$ para $0 \leq t \leq 6$

$R(t)=5(t-9)^2+33$ para $6<t \leq 12$

Estudiaremos cada tramo por separado.

Apartado 3.2.1. Crecimiento y decrecimiento

Primer tramo: $0 \leq t \leq 6$

$R(t)=96-2(t-3)^2$

Es una parábola que abre hacia abajo, porque el coeficiente de $(t-3)^2$ es negativo.

Su vértice está en:

$t=3$

Por tanto:

• Aumenta desde $t=0$ hasta $t=3$.
• Disminuye desde $t=3$ hasta $t=6$.

Es decir, las reservas aumentan desde el 1 de enero hasta aproximadamente el 1 de abril, y disminuyen desde aproximadamente el 1 de abril hasta el 1 de julio.

Segundo tramo: $6<t \leq 12$

$R(t)=5(t-9)^2+33$

Es una parábola que abre hacia arriba, porque el coeficiente de $(t-9)^2$ es positivo.

Su vértice está en:

$t=9$

Por tanto:

• Disminuye desde $t=6$ hasta $t=9$.
• Aumenta desde $t=9$ hasta $t=12$.

Es decir, las reservas disminuyen desde aproximadamente el 1 de julio hasta el 1 de octubre, y aumentan desde aproximadamente el 1 de octubre hasta final de año.

Respuesta

Las reservas aumentaron en los intervalos:

$\boxed{(0,3) \text{ y } (9,12)}$

Es decir, aproximadamente:

• Del 1 de enero al 1 de abril.
• Del 1 de octubre al final del año.

Las reservas disminuyeron en el intervalo:

$\boxed{(3,9)}$

Es decir, aproximadamente:

• Del 1 de abril al 1 de octubre.

Apartado 3.2.2. Reservas mínimas

Calculamos los valores más importantes de la función.

En $t=0$:

$R(0)=96-2(0-3)^2$

$R(0)=96-2\cdot 9$

$R(0)=96-18=78$

En $t=3$:

$R(3)=96-2(3-3)^2$

$R(3)=96$

En $t=6$:

$R(6)=96-2(6-3)^2$

$R(6)=96-2\cdot 9$

$R(6)=78$

En el segundo tramo, el mínimo está en el vértice:

$t=9$

Calculamos:

$R(9)=5(9-9)^2+33$

$R(9)=33$

En $t=12$:

$R(12)=5(12-9)^2+33$

$R(12)=5\cdot 9+33$

$R(12)=45+33=78$

Por tanto, el valor mínimo de las reservas es:

$\boxed{33\%}$

y se alcanza en:

$\boxed{t=9}$

Como $t=9$ son nueve meses desde el 1 de enero, corresponde aproximadamente al:

$\boxed{1 \text{ de octubre de 2025}}$

Respuesta

Las reservas mínimas fueron del:

$\boxed{33\%}$

y se produjeron aproximadamente el:

$\boxed{1 \text{ de octubre de 2025}}$

Apartado 3.2.3. Representación gráfica

Para representar la función, usamos los puntos clave:

La gráfica aumenta hasta $t=3$, disminuye hasta $t=9$ y vuelve a aumentar hasta $t=12$.

[INSERTAR AQUÍ LA GRÁFICA DE LAS RESERVAS DEL EMBALSE]

PREGUNTA 4. ESTADÍSTICA Y ÁLGEBRA

El examen permite escoger entre dos apartados de Estadística, 4.1 o 4.2, y entre dos apartados de Álgebra, 4.3 o 4.4.

Resolvemos todos.

PREGUNTA 4.1. INTERVALO DE CONFIANZA

Enunciado

La cantidad de agua, en litros, que se consume en el lavado de un coche en una estación de autolavado se distribuye normalmente con una desviación típica:

$\sigma=20$

Tomada una muestra de:

$n=64$

coches, se ha determinado que el consumo medio de agua está comprendido entre:

$76,1$ litros y $85,9$ litros.

Se pide calcular con qué nivel de confianza se ha realizado esta afirmación.

Se dan los siguientes valores:

$P(Z<2,05)=0,98$

$P(Z<2,326)=0,99$

$P(Z>1,645)=0,05$

$P(Z>1,96)=0,025$

Solución del apartado 4.1

El intervalo de confianza para la media tiene la forma:

$\left(\bar{x}-E,\bar{x}+E\right)$

donde $E$ es el error máximo.

El intervalo dado es:

$(76,1,\ 85,9)$

Calculamos su centro:

$\bar{x}=\frac{76,1+85,9}{2}$

$\bar{x}=\frac{162}{2}=81$

Ahora calculamos el error máximo:

$E=85,9-81=4,9$

También se podría calcular:

$E=\frac{85,9-76,1}{2}=\frac{9,8}{2}=4,9$

El error máximo de un intervalo para la media con desviación típica conocida es:

$E=z_{\alpha/2}\cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$

Sustituimos los datos:

$4,9=z_{\alpha/2}\cdot \frac{20}{\sqrt{64}}$

Como:

$\sqrt{64}=8$

queda:

$4,9=z_{\alpha/2}\cdot \frac{20}{8}$

$4,9=z_{\alpha/2}\cdot 2,5$

Despejamos:

$z_{\alpha/2}=\frac{4,9}{2,5}=1,96$

Por tanto:

$z_{\alpha/2}=1,96$

Según el enunciado:

$P(Z>1,96)=0,025$

Eso significa que:

$\frac{\alpha}{2}=0,025$

Por tanto:

$\alpha=0,05$

El nivel de confianza es:

$1-\alpha=1-0,05=0,95$

Respuesta

El nivel de confianza es:

$\boxed{0,95}$

Es decir:

$\boxed{95\%}$

PREGUNTA 4.2. DISTRIBUCIÓN BINOMIAL

Enunciado

El $90%$ de los individuos de una población tienen cuenta bancaria.

Elegidos 5 individuos de esa población, se pide:

4.2.1. ¿Cuál es la probabilidad de que todos tengan cuenta bancaria?

4.2.2. Calcule la probabilidad de que, entre los 5 individuos, menos de 2 tengan cuenta bancaria.

Solución del apartado 4.2

Tenemos una distribución binomial:

$X \sim B(n,p)$

donde:

$n=5$

$p=0,9$

La variable $X$ representa el número de individuos, entre los 5 elegidos, que tienen cuenta bancaria.

Por tanto:

$X \sim B(5,0,9)$

La fórmula de la distribución binomial es:

$P(X=k)=\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}$

En este caso:

$P(X=k)=\binom{5}{k}(0,9)^k(0,1)^{5-k}$

Apartado 4.2.1. Probabilidad de que todos tengan cuenta bancaria

Nos piden:

$P(X=5)$

Aplicamos la fórmula:

$P(X=5)=\binom{5}{5}(0,9)^5(0,1)^0$

Como:

$\binom{5}{5}=1$

y:

$(0,1)^0=1$

queda:

$P(X=5)=(0,9)^5$

Calculamos:

$P(X=5)=0,59049$

Respuesta

La probabilidad de que los 5 individuos tengan cuenta bancaria es:

$\boxed{0,59049}$

Es decir, aproximadamente:

$\boxed{59,049\%}$

Apartado 4.2.2. Probabilidad de que menos de 2 tengan cuenta bancaria

Nos piden:

$P(X<2)$

Como $X$ solo puede tomar valores enteros, esto equivale a:

$P(X<2)=P(X=0)+P(X=1)$

Calculamos cada probabilidad.

Probabilidad de que ninguno tenga cuenta bancaria

$P(X=0)=\binom{5}{0}(0,9)^0(0,1)^5$

$P(X=0)=1\cdot 1\cdot 0,00001$

$P(X=0)=0,00001$

Probabilidad de que solo uno tenga cuenta bancaria

$P(X=1)=\binom{5}{1}(0,9)^1(0,1)^4$

$P(X=1)=5\cdot 0,9\cdot 0,0001$

$P(X=1)=0,00045$

Ahora sumamos:

$P(X<2)=0,00001+0,00045$

$P(X<2)=0,00046$

Respuesta

La probabilidad de que menos de 2 individuos tengan cuenta bancaria es:

$\boxed{0,00046}$

Es decir:

$\boxed{0,046\%}$

PREGUNTA 4.3. MATRICES

Enunciado

Considere las matrices:

$A=
\begin{pmatrix}
a & 1 & 1 \
0 & a & -1 \
a & 1 & -1
\end{pmatrix}$

$B=
\begin{pmatrix}
2 \
1 \
b
\end{pmatrix}$

$C=
\begin{pmatrix}
1 \
c \
c
\end{pmatrix}$

Se pide expresar en forma de sistema de ecuaciones la igualdad matricial:

$A\cdot B=C$

Solución del apartado 4.3

Tenemos que calcular el producto:

$A\cdot B$

Es decir:

$
\begin{pmatrix}
a & 1 & 1 \
0 & a & -1 \
a & 1 & -1
\end{pmatrix}
\cdot
\begin{pmatrix}
2 \
1 \
b
\end{pmatrix}
$

Multiplicamos fila por columna.

Primera fila

$a\cdot 2+1\cdot 1+1\cdot b$

$=2a+1+b$

Segunda fila

$0\cdot 2+a\cdot 1+(-1)\cdot b$

$=a-b$

Tercera fila

$a\cdot 2+1\cdot 1+(-1)\cdot b$

$=2a+1-b$

Por tanto:

$A\cdot B=
\begin{pmatrix}
2a+1+b \
a-b \
2a+1-b
\end{pmatrix}$

Como:

$A\cdot B=C$

tenemos:

$
\begin{pmatrix}
2a+1+b \\
a-b \\
2a+1-b
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
1 \\
c \\
c
\end{pmatrix}
$

Igualamos componente a componente:

$2a+1+b=1$

$a-b=c$

$2a+1-b=c$

La primera ecuación se puede simplificar:

$2a+b=0$

Respuesta

El sistema de ecuaciones obtenido es:

$\boxed{
\begin{cases}
2a+b=0 \
a-b=c \
2a+1-b=c
\end{cases}
}$

PREGUNTA 4.4. MATRICES E INVERSA

Enunciado

Dadas las matrices:

$A=
\begin{pmatrix}
1 & 1 \
1 & 2 \
1 & 3
\end{pmatrix}$

$B=
\begin{pmatrix}
1 & 1 \
1 & k \
1 & k^2
\end{pmatrix}$

Calcule los valores de $k$ para los que la matriz:

$A^t\cdot B$

tenga inversa, siendo $A^t$ la matriz traspuesta de $A$.

Solución del apartado 4.4

Primero calculamos la traspuesta de $A$.

Como:

$A=
\begin{pmatrix}
1 & 1 \
1 & 2 \
1 & 3
\end{pmatrix}$

entonces:

$A^t=
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 \
1 & 2 & 3
\end{pmatrix}$

Ahora calculamos:

$A^t\cdot B$

$
A^t\cdot B=
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 \
1 & 2 & 3
\end{pmatrix}
\cdot
\begin{pmatrix}
1 & 1 \
1 & k \
1 & k^2
\end{pmatrix}
$

Multiplicamos.

Primera fila, primera columna:

$1\cdot 1+1\cdot 1+1\cdot 1=3$

Primera fila, segunda columna:

$1\cdot 1+1\cdot k+1\cdot k^2=1+k+k^2$

Segunda fila, primera columna:

$1\cdot 1+2\cdot 1+3\cdot 1=6$

Segunda fila, segunda columna:

$1\cdot 1+2\cdot k+3\cdot k^2=1+2k+3k^2$

Por tanto:

$A^t\cdot B=
\begin{pmatrix}
3 & 1+k+k^2 \
6 & 1+2k+3k^2
\end{pmatrix}$

Para que una matriz cuadrada tenga inversa, su determinante debe ser distinto de cero.

Calculamos el determinante:

$
\left|
\begin{matrix}
3 & 1+k+k^2 \
6 & 1+2k+3k^2
\end{matrix}
\right|
$

$=3(1+2k+3k^2)-6(1+k+k^2)$

Desarrollamos:

$=3+6k+9k^2-6-6k-6k^2$

Simplificamos:

$=3k^2-3$

Sacamos factor común:

$=3(k^2-1)$

Usamos la identidad notable:

$k^2-1=(k-1)(k+1)$

Por tanto:

$\det(A^t\cdot B)=3(k-1)(k+1)$

Para que tenga inversa:

$3(k-1)(k+1)\neq 0$

Esto ocurre cuando:

$k-1\neq 0$

y

$k+1\neq 0$

Por tanto:

$k\neq 1$

$k\neq -1$

Respuesta

La matriz $A^t\cdot B$ tiene inversa para todos los valores reales de $k$ excepto:

$\boxed{k=1 \text{ y } k=-1}$

Es decir:

$\boxed{k\in \mathbb{R}-{-1,1}}$

SOLUCIONES FINALES RESUMIDAS

Pregunta 1

1.1.

$\boxed{75\%}$

1.2.

Sí, se ampliará el horario de la biblioteca, porque estudia en ella el:

$\boxed{35\%}$

y se cumple que:

$35%>30%$

Pregunta 2

Vértices de la región factible:

$\boxed{(-2,1),\ (1,3),\ (3,2),\ (3,-4)}$

Máximo de $f(x,y)=2x+3y$:

$\boxed{12 \text{ en } (3,2)}$

Mínimo de $f(x,y)=2x+3y$:

$\boxed{-6 \text{ en } (3,-4)}$

Pregunta 3.1

Beneficio máximo:

$\boxed{900 \text{ euros}}$

Se alcanza vendiendo:

$\boxed{5,000 \text{ unidades}}$

Beneficios positivos:

$\boxed{2<x<8}$

Es decir, entre:

$\boxed{2,000 \text{ y } 8,000 \text{ unidades}}$

Beneficio medio:

$\boxed{\frac{23}{3} \text{ cientos de euros}}$

Aproximadamente:

$\boxed{766,67 \text{ euros}}$

Pregunta 3.2

Reservas crecientes:

$\boxed{(0,3) \text{ y } (9,12)}$

Reservas decrecientes:

$\boxed{(3,9)}$

Reservas mínimas:

$\boxed{33\%}$

Se producen en:

$\boxed{t=9}$

aproximadamente el 1 de octubre de 2025.

Pregunta 4.1

Nivel de confianza:

$\boxed{95\%}$

Pregunta 4.2

Probabilidad de que los 5 tengan cuenta bancaria:

$\boxed{0,59049}$

Probabilidad de que menos de 2 tengan cuenta bancaria:

$\boxed{0,00046}$

Pregunta 4.3

Sistema obtenido:

$\boxed{
\begin{cases}
2a+b=0 \
a-b=c \
2a+1-b=c
\end{cases}
}$

Pregunta 4.4

La matriz tiene inversa si:

$\boxed{k\in \mathbb{R}-{-1,1}}$